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数学物理方程

发布时间:2017年05月28日来源: 作者:点击量:

为了精确描述许多自然现象都必须采用偏微分方程的数学形式,特别是很多重要的物理力学及工程过程的基本规律的数学描述都是偏微分方程,例如流体力学、电磁学的基本定律都是如此。几何学中的很多问题也可以用偏微分方程来描述。基于这些学科与问题发展的需要数学物理方程这门课程应运而生。数学物理方程是数学类、物理学类、电子信息科学类和通信科学类的重要公共基础课和工具,它是一门纯理论课程。其主要特色在于数学和物理的紧密结合,将数学方法应用于实际的物理和交叉科学的具体问题的分析中,通过物理过程建立数学模型(偏微分方程),通过求解和分析模型,对具体物理过程进一步深入理解,提高人们分析和解决实际问题的能力。
学界对偏微分方程的研究,从微分学产生后不久就开始了。例如,18世纪初期对弦线的横向振动研究,其后,对热传导理论的研究,以及和对流体力学的研究,都获得相应的数学物理方程及其有效的解法。到19世纪中叶,进一步从个别方程的深入研究逐渐形成了偏微分的一般理论,如方程的分类、特征理论等,这便是经典偏微分方程理论的范畴。
然而到了20世纪随着科学技术的不断发展,在科学实践中提出了数学物理方程的新问题,计算机的出现为数学物理方程的研究成果提供了强有力的实现手段。又因为数学的其他分支(如泛函分析、拓扑学、群论、微分几何等等)也有了迅速发展,为深入研究偏微分方程提供了有力的工具。因而,20世纪关于数学物理方程的研究有了前所未有的发展。这些发展呈如下特点和趋势
一、在许多自然科学及工程技术中提出的问题的数学描述大多是非线性偏微分方程,如反应扩散方程组,流体力学方程组电磁流体力学方程组,辐射流体方程组等。即使一些线性偏微分方程作近似处理的问题,由于研究的深入,也必须重新考虑非线性效应。对非线性偏微分方程研究,难度大得多,然而对线性偏微分方程的已有结果,将提供很多有益的启示。       
二、数学物理方程不再只是描述物理学、力学等工程过程的数学形式,而目前在化学、生物学、医学、农业、环保领域,甚至在经济等社会科学住房领域都不断提出一些非常重要的偏微分方程。
三、一个实际模型的数学描述,除了描述过程的方程(或方程组)外,还应有定解条件(如初始条件及边值条件)。传统的描述,这些条件是线性的,逐点表示的。而现在提出的很多定解条件是非线性的,特别是非局部的。对非局部边值问题的研究是一个新的非常有意义的领域。
四、几何学中提出了很多重要的非线性偏微分方程,如极小曲面方程,调和映照方程等等。泛函分析、拓扑学及群论等现代工具在偏微分方程的理论研究中被广泛应用,例如Sobolev空间为研究非线性偏微分方程提供了强有力的框架和工具。广义函数的应用使得经典的线性微分方程理论更加系统完善。再就是计算机的广泛应用,计算方法的快速发展,特别是有限元广泛的应用,使得对偏微分方程的研究得以在实践中实现和检验。

 


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